矩阵连乘(java实现)

一、问题描述与分析

问题:给定n个矩阵:A1,A2,...,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2...,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

分析:由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为:

(1)单个矩阵是完全加括号的;

(2)矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=(BC)

例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式:(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。

二、程序实现

import java.util.Scanner;

public class Matrix {
    public static int n;
    public static int[] p;
    public static int[][] m;
    public static int[][] s;
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入矩阵的个数:");
        n = in.nextInt();
        System.out.println("请输入矩阵的行数和列数:");
        p = new int[n+1];
        for(int i = 0;i <= n;i++)
        {
            p[i] = in.nextInt();
        }
        m = new int[n+1][n+1];
        s = new int[n+1][n+1];
        matrixChain(p,n,m,s);
        System.out.println("矩阵连乘的最小次数是:" + m[1][n]);
        System.out.println("矩阵的连乘次序:");
        Traceback(1,n,s);
    }
    
    public static void Traceback(int i,int j,int[][] s)//递归构造最优解
    {
        if(i == j)
        {
            return ;
        }
        Traceback(i,s[i][j],s);
        Traceback(s[i][j]+1,j,s);
        System.out.println("Multiply A" + i + "," + s[i][j] + "and A" + (s[i][j]+1) + "," + j);
    }

    public static void matrixChain(int p[],int n,int[][] m,int[][] s)
    {
        for(int i = 1;i <= n;i++)//初始化,矩阵长度为1时,从i到i的矩阵连乘子问题只有一个矩阵,操作次数是0
        {
            m[i][i] = 0;
        }
        for(int r = 2;r <= n;r++)//矩阵的的长度,从长度2开始逐渐边长。
        {
            for(int i = 1;i <= n-r+1;i++)//从第i个矩阵开始,长度为r,则矩阵为(Ai-A(i+r-1))
            {
                int j = i+r-1;
                m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
                s[i][j] = i;//断开点的索引
                for(int k = i+1;k < j;k++)//k从i+1循环找m[i][j]的最小值
                {
                    int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                    if(t < m[i][j])//找到比原来的断开点更小的值
                    {
                        m[i][j] = t;
                        s[i][j] = k;//最小值的断开点
                    }
                }
            }
        }
    }
}

三、实验结果与分析

实验结果:
结果
实验分析:

思路:

设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]。

当i=j时,A[i:j]=Ai,因此,mi=0,i=1,2,…,n

当i<j时,若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开,i<=k<j,则:mi=mi+mk+1+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置,所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此,k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

递推关系如下:$$m[i,j]=\begin{cases}0,i=j\\\min_{i<k<j}\{m[i,k]+m[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j\},i<j\end{cases}$$

若将对应mi的断开位置k记为si,在计算出最优值mi后,可递归地由si构造出相应的最优解。si中的数表明,计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,即最优的加括号方式应为(A[i:k])(Ak+1:j)。因此,从s[1记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A1:s[1])(As[1+1:n]),进一步递推,A1:s[1]的最优加括号方式为(A1:s[1[n]]])(As[1[n]]+1:s1[n]]])。同理可以确定As[1+1:n]的最优加括号方式在ss[1+1][n]处断开...照此递推下去,最终就可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式,及构造出问题的一个最优解。

Last modification:July 6th, 2020 at 06:27 pm
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